Ci sono tre caratteristiche di un esperimento binomiale.
- C'è un numero fisso di prove. Pensa alle prove come ripetizioni di un esperimento. La letteraNindica il numero di prove.
- Ci sono solo due possibili esiti, chiamati "successo" e "fallimento", per ogni prova. La letteraPdenota la probabilità di successo in una prova, eQdenota la probabilità di un fallimento in una prova.P+Q= 1.
- ILNle prove sono indipendenti e vengono ripetute utilizzando condizioni identiche. Perché ilNle prove sono indipendenti, l'esito di una prova non aiuta a prevedere l'esito di un'altra prova. Un altro modo per dirlo è che per ogni singola prova, la probabilità,P, di successo e probabilità,Q, di un fallimento rimangono gli stessi. Ad esempio, indovinare casualmente una domanda statistica vero-falso ha solo due risultati. Se un successo sta indovinando correttamente, allora un fallimento sta indovinando in modo errato. Supponiamo che Joe indovini sempre correttamente su qualsiasi domanda statistica vero-falso con probabilitàP= 0,6. Poi,Q= 0,4. Ciò significa che per ogni domanda statistica vero-falso a cui Joe risponde, la sua probabilità di successo (P= 0.6) e la sua probabilità di fallimento (Q= 0,4) rimangono gli stessi.
I risultati di un esperimento binomiale corrispondono adistribuzione di probabilità binomiale. La variabile casualeX= il numero di successi ottenuti nelNprove indipendenti.
La media,M, e varianza,P2, per la distribuzione di probabilità binomiale areM=npEP2=npq. La deviazione standard,P, è poiP=.
Qualsiasi esperimento che ha caratteristiche due e tre e doveN= 1 si dice aProcesso Bernoulli(dal nome di Jacob Bernoulli che, alla fine del 1600, li studiò ampiamente). Un esperimento binomiale ha luogo quando viene contato il numero di successi in una o più Prove Bernoulliane.
Esempio 4.9
All'ABC College, il tasso di ritiro da un corso elementare di fisica è del 30% per un determinato periodo. Ciò implica che, per un determinato trimestre, il 70% degli studenti rimane in classe per l'intero trimestre. Un "successo" potrebbe essere definito come un individuo che si è ritirato. La variabile casualeX= il numero di studenti che si ritirano dal corso di fisica elementare selezionato a caso.
Provalo 4.9
L'ente sanitario statale è preoccupato per la quantità di frutta disponibile nelle mense scolastiche. Il 48% delle scuole dello stato offre frutta ogni giorno a pranzo. Ciò implica che il 52% non lo fa. Quale sarebbe un "successo" in questo caso?
Esempio 4.10
Supponi di giocare a un gioco in cui puoi solo vincere o perdere. La probabilità di vincere qualsiasi partita è del 55% e la probabilità di perdere è del 45%. Ogni gioco che giochi è indipendente. Se giochi 20 volte, scrivi la funzione che descrive la probabilità di vincere 15 volte su 20. Qui, se definisciXcome il numero di vittorie, quindiXassume i valori 0, 1, 2, 3, ..., 20. La probabilità di successo èP= 0,55. La probabilità di un fallimento èQ= 0,45. Il numero di prove èN= 20. La domanda di probabilità può essere espressa matematicamente comeP(X= 15).
Provalo 4.10
Un addestratore sta insegnando a un delfino a fare acrobazie. La probabilità che il delfino esegua con successo il trucco è del 35% e la probabilità che il delfino non esegua correttamente il trucco è del 65%. Su 20 tentativi, vuoi trovare la probabilità che il delfino abbia successo 12 volte. Formula matematicamente la domanda sulla probabilità.
Esempio 4.11
Problema
Una moneta normale viene lanciata 15 volte. Ogni capovolgimento è indipendente. Qual è la probabilità di ottenere più di dieci teste? PermettereX= il numero di teste in 15 lanci della moneta giusta.Xassume i valori 0, 1, 2, 3, ..., 15. Poiché la moneta è giusta,P= 0,5 eQ= 0,5. Il numero di prove èN= 15. Formula matematicamente la domanda di probabilità.
Provalo 4.11
Un dado equo a sei facce viene lanciato dieci volte. Ogni rotolo è indipendente. Vuoi trovare la probabilità di ottenere uno più di tre volte. Formula matematicamente la domanda sulla probabilità.
Esempio 4.12
Circa il 70% degli studenti di statistica fa i compiti in tempo per essere raccolti e valutati. Ogni studente fa i compiti in modo indipendente. In una classe di statistica di 50 studenti, qual è la probabilità che almeno 40 facciano i compiti in tempo? Gli studenti vengono selezionati in modo casuale.
Problema
UN. Questo è un problema binomiale perché c'è solo un successo o un __________, c'è un numero fisso di prove e la probabilità di successo è 0,70 per ogni prova.
B. Se siamo interessati al numero di studenti che fanno i compiti in tempo, allora come li definiamoX?
C. Che valori faXassumere?
D. Che cos'è un "fallimento", in parole?
e. SeP+Q= 1, allora qual èQ?
F. Le parole "almeno" si traducono come tipo di disuguaglianza per la domanda di probabilitàP(X____ 40).
Soluzione
UN. fallimento
B.X= il numero di studenti di statistica che fanno i compiti in orario
C. 0, 1, 2, …, 50
D. Il fallimento è definito come uno studente che non completa i compiti in tempo.
La probabilità di successo èP= 0,70. Il numero di prove èN= 50.
e.Q= 0,30
F. maggiore o uguale a (≥)
La domanda di probabilità èP(X≥ 40).
Provalo 4.12
Il sessantacinque per cento delle persone supera l'esame di guida statale al primo tentativo. Un gruppo di 50 persone che hanno sostenuto l'esame di guida viene selezionato a caso. Spiega due motivi per cui questo è un problema binomiale.
Notazione per il binomio:B= Funzione di distribuzione di probabilità binomiale
X~B(N,P)
Leggi questo come "Xè una variabile casuale con una distribuzione binomiale." I parametri sonoNEP;N= numero di prove,P= probabilità di successo in ogni prova.
Esempio 4.13
È stato affermato che circa il 41% dei lavoratori adulti ha un diploma di scuola superiore ma non prosegue gli studi. Se vengono selezionati a caso 20 lavoratori adulti, trova la probabilità che al massimo 12 di loro abbiano un diploma di scuola superiore ma non perseguano ulteriori studi. Quanti lavoratori adulti ti aspetti di avere un diploma di scuola superiore ma non proseguire gli studi?
PermettereX= il numero di lavoratori in possesso di un diploma di scuola media superiore ma che non proseguono gli studi.
Xassume i valori 0, 1, 2, ..., 20 doveN= 20,P= 0,41 eQ= 1 – 0,41 = 0,59.X~B(20, 0,41)
TrovareP(X≤ 12).P(X≤ 12) = 0,9738. (calcolatrice o computer)
Utilizzo della calcolatrice TI-83, 83+, 84, 84+
Entra in 2ndDISTR. La sintassi delle istruzioni è la seguente:
Calcolare (X= valore): binompdf(N,P, numero)se "numero" viene omesso, il risultato è la tabella delle probabilità binomiali.
CalcolareP(X≤ valore): binomcdf(N,P, numero)se "numero" viene omesso, il risultato è la tabella delle probabilità binomiali cumulative.
Per questo problema: dopo che sei in 2ndDISTR, freccia giù per binomcdf. Premere Invio. Immettere 20,0.41,12). Il risultato èP(X≤ 12) = 0,9738.
NOTA
Se vuoi trovareP(X= 12), usa il pdf (binompdf). Se vuoi trovareP(X> 12), usa 1 - binomcdf(20,0.41,12).
La probabilità che al massimo 12 lavoratori abbiano un diploma di scuola superiore ma non proseguano ulteriori studi è 0,9738.
Il grafico diX~B(20, 0.41) è il seguente:
Figura4.2
ILsi-axis contiene la probabilità diX, DoveX= il numero di lavoratori che hanno solo un diploma di scuola superiore.
Il numero di lavoratori adulti che prevedi di avere un diploma di scuola superiore ma che non perseguono ulteriori studi è la media,M=np= (20)(0,41) = 8,2.
La formula per la varianza è σ2=npq. La deviazione standard èP=.
P== 2,20.
Provalo 4.13
Circa il 32% degli studenti partecipa a un programma di volontariato comunitario al di fuori della scuola. Se 30 studenti vengono selezionati a caso, trova la probabilità che al massimo 14 di loro partecipino a un programma di volontariato comunitario al di fuori della scuola. Usa la calcolatrice TI-83+ o TI-84 per trovare la risposta.
Esempio 4.14
Problema
Nel 2013Artarama di Jerrycatalogo materiale artistico, ci sono 560 pagine. Otto delle pagine presentano artisti distintivi. Supponiamo di campionare casualmente 100 pagine. PermettereX= il numero di pagine che presentano artisti firma.
- Che valori faXassumere?
- Qual è la distribuzione di probabilità? Trova le seguenti probabilità:
- la probabilità che due pagine contengano firme artistiche
- la probabilità che al massimo sei pagine contengano artisti distintivi
- la probabilità che più di tre pagine contengano firme artistiche.
- Usando le formule, calcola la (i) media e (ii) la deviazione standard.
Soluzione
- X= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
- X~B
- P(X= 2) = binompdf= 0,2466
- P(X≤ 6) = binomcdf= 0,9994
- P(X> 3) = 1 –P(X≤ 3) = 1 – binomcdf= 1 – 0,9443 = 0,0557
- Media =np= (100)=≈ 1,4286
- Deviazione standard ==≈ 1,1867
Provalo 4.14
Secondo un sondaggio Gallup, il 60% degli adulti americani preferisce risparmiare piuttosto che spendere. PermettereX= il numero di adulti americani su un campione casuale di 50 che preferiscono risparmiare piuttosto che spendere.
- A cosa serve la distribuzione di probabilitàX?
- Usa la tua calcolatrice per trovare le seguenti probabilità:
- la probabilità che 25 adulti nel campione preferiscano risparmiare piuttosto che spendere
- la probabilità che al massimo 20 adulti preferiscano risparmiare
- la probabilità che più di 30 adulti preferiscano risparmiare
- Usando le formule, calcola la (i) media e (ii) la deviazione standard diX.
Esempio 4.15
Il rischio nel corso della vita di sviluppare il cancro al pancreas è di circa uno su 78 (1,28%). Supponiamo di campionare casualmente 200 persone. PermettereX= il numero di persone che svilupperanno il cancro al pancreas.
Problema
- A cosa serve la distribuzione di probabilitàX?
- Usando le formule, calcola la (i) media e (ii) la deviazione standard diX.
- Usa la tua calcolatrice per trovare la probabilità che al massimo otto persone sviluppino il cancro al pancreas
- È più probabile che cinque o sei persone sviluppino il cancro al pancreas? Giustifica la tua risposta numericamente.
Provalo 4.15
Durante la stagione regolare NBA 2013, DeAndre Jordan dei Los Angeles Clippers ha ottenuto il più alto tasso di completamento del field goal del campionato. DeAndre ha segnato con il 61,3% dei suoi tiri. Supponiamo di scegliere un campione casuale di 80 tiri realizzati da DeAndre durante la stagione 2013. PermettereX= il numero di tiri che hanno segnato punti.
- A cosa serve la distribuzione di probabilitàX?
- Usando le formule, calcola la (i) media e (ii) la deviazione standard diX.
- Usa la tua calcolatrice per trovare la probabilità che DeAndre abbia segnato con 60 di questi tiri.
- Trova la probabilità che DeAndre abbia segnato con più di 50 di questi tiri.
Esempio 4.16
L'esempio seguente illustra un problema che ènonbinomiale. Viola la condizione di indipendenza. L'ABC College ha un comitato consultivo studentesco composto da dieci membri del personale e sei studenti. Il comitato desidera scegliere un presidente e un registratore. Qual è la probabilità che il presidente e l'archivista siano entrambi studenti? I nomi di tutti i membri del comitato vengono inseriti in una casella e vengono estratti due nomisenza sostituzione. Il primo nome estratto determina il presidente e il secondo nome l'archivista. Ci sono due prove. Tuttavia, le prove non sono indipendenti perché l'esito della prima prova influisce sull'esito della seconda prova. La probabilità di uno studente alla prima estrazione è. La probabilità di uno studente alla seconda estrazione è, quando la prima estrazione seleziona uno studente. La probabilità è, quando la prima estrazione seleziona un membro dello staff. La probabilità di estrarre il nome di uno studente cambia per ciascuna delle prove e, quindi, viola la condizione di indipendenza.
Provalo 4.16
Una squadra di lacrosse sta selezionando un capitano. I nomi di tutti gli anziani vengono messi in un cappello e i primi tre estratti saranno i capitani. I nomi non vengono sostituiti una volta sorteggiati (una persona non può essere due capitani). Vuoi vedere se i capitani giocano tutti nella stessa posizione. Indica se questo è binomiale o meno e spiega perché.